十二年級班 112學年冬季 第六週

投影幾何                                             

江昌倫

投影幾何是人對無限的認識之結晶：無限並不是現代人的發明而是歷時甚久的古典問題，人們對於無限的概念，也並非突然成為知識，而是許多人研究交織的匯集。我們對於科學或數學的理解，以為知識是被某些絕世天才，一步一步按部就班地被建構出來。事實上，知識的發現旅程並非如此線性：「這些人的發現，即使當時沒有提出，幾年後也會有別人提出，也許是以化零為整或出自偶然的方式。……我們傾向崇拜最有天分的人，對稍微黯淡的腳色則也許不夠肯定……貢獻最大的不是個別的天才，而是當時的智力氛圍及實際環境，可以讓稍具才智之士都能開花結果，互相造就彼此的成功。(《超乎想像的化學課》P.9)」

    問題、討論與對話，讓不同的觀察與思考盡可能地出現，而非只有獨力苦思，是前往投影幾何發現的必須。

    協助這段討論發生的，是投影幾何學說的奠基者Desargues，藉由前兩週的基本能力鍛鍊，在進行笛沙格定理討論時，無論是轉換多元觀點，或是任意且秩序地將一至複數點或線丟到無窮遠處討論其不可見但可知的現象，以及點與線轉換的逆向思考(雙重性Duality)，都有著持續進行的對話與想法討論。

    「所以，若兩個三角形各有兩個點在無窮遠處的狀況會是如何呢？」

    學生們清楚地討論著黑板上根本畫不出來的無窮遠狀態：「因此這2個三角形的其中一邊，一定是無窮遠線。」

    「那麼，這兩條無窮遠線的交點在哪裡呢？」我問。

    「也在無窮遠處。」學生們肯定地回答

    「那麼，相應著這3個三角形延伸邊長的其他2個點呢？」我問學生更為肯定地說「在無窮遠處呀」

    我笑了：「所以3個點都在無窮遠處？那麼，這3個點的共線在哪裡？」

    「ㄟ…」學生沒猶豫太久，就開心地說：「在無窮遠處呀！」

    這時整個班級笑成了一團，超開心的：「對唷，都一起丟到無窮遠處就好了唷。哈哈哈！」我開懷地笑著問：「所以這幾個無窮遠點，這幾條無窮遠線的狀態到底是甚麼呢？」

    「啊，就在無窮遠呀。」還有一兩位學生天真地回答。但已有幾個孩子發現事情不太對了。

    「對，他們都在無窮遠處，但他們的狀態是甚麼呢？是同一條線嗎？」我問。

    「啊……不是。」總算大家都意識到這問題的麻煩了。

    「那麼，他們的狀態是甚麼呢？先回去想想，我們明天再繼續談這題的狀態。大家還有想實驗的命題嗎？」

    學生說：「啊，全部都丟到無窮遠處唷。哈哈哈！」

從質疑到不熟悉，從不熟悉到覺得「無窮遠處真是好用呀。」這是投影幾何學習的歷程。藉由投影幾何，我們討論看不見的世界與看得見的世界之共同律則，因此，越是深入討論看不見的無窮遠狀態，越是拓展了我們對整體的認識，越是清楚不可見與可見之間的連結，讓我們更清楚地意識到當下此時此地之存在並不孤單。

    「有兩種東西，我對它們的思考越是深沉和持久，他們在我心靈中喚起的讚嘆和敬畏就會越來越歷久彌新，一是我們頭頂浩瀚燦爛的星空，一是我們心中崇高的道德法則。他們向我印證，神在我頭頂，亦在我心中。」康德《實踐理性批判》

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